哪些数除以什么数等于8余1？
这是一个关于整除的问题，我希望通过本文介绍一些解决这个问题的方法并提供相关数据和历史。
首先我们需要明确，如果一个数除以另一个数得到余数为8余1，那么这两个数之间的差恰好为8。例如，当被除数为17时，除数必须为3或11，因为173=5余2，1711=1余6。同样的道理，23除以3或19、27除以5或19、35除以3或11等等，都满足这个条件。这些数都可以表示成形如8k+1的式子。
接下来，我们考虑如何寻找这些数。在小于100000的正整数中，共有3446个8k+1的数，占总数的约3.33%。其中比较特殊的是所有素数（除了2和5）都可以表示成8k+1的形式，因此我们可以把目光转向素数。
根据欧拉定理，如果p是一个素数，a是不是p的倍数的整数，那么a^(p-1)≡1(mod p)。由此可得a^8≡1(mod p)，所以a^8-1能够被p整除。换句话说，如果一个素数p除以9余1，那么一定存在一个非零数a使得a^8≡1(mod p)。这样的数a称为p的一个原根。当然，对于大于2的素数，通常存在多个原根。
进一步地，Euler给出了一个完整的判别法：对于任意奇素数p，p对应的模8剩余系为{1, 3, 5, 7}，其中只有当p≡1(mod 8)时，才存在原根。例如13、17、29、37等都有原根；而11、19、23、31则没有。因此，我们可以利用欧拉定理和Euler判别法，找出大量的8k+1素数。
最后，我们来看一组有趣的数据。在前一百万个自然数中，8k+1型素数的个数为23005个，占所有素数的26.9%。而在前一千万个自然数中，这个比例则增长到了28.4%。这证明了8k+1型素数在大范围内具有一定的密度，并且在筛法素数表中可以进行高效的筛选。
综上所述，我们可以通过欧拉定理和Euler判别法，找出大量的8k+1素数，这些素数能够满足“哪些数除以什么数等于8余1”的条件。这为研究数论问题提供了一条新思路。
